一
请你做下面这道有趣的题目：‍‍‍‍‍
亲吻一只雌青蛙
你在森林探险，不幸被毒蜈蚣咬到，唯一能解除你毒性的方法是吻到一只雌性青蛙。

现在你面前有一只青蛙，背后有两只。在你中毒且濒临死亡的时刻，你听到背后传来雄性青蛙特有的叫声。
已知自然条件下，青蛙的性别比例为1:1，雌雄都会随机叫，且声音不同。
请问：为了增加吻到至少一只雌性青蛙的机会，你应该选择吻前面的那一只青蛙，还是转身吻背后的两只青蛙？
我会在本文最后会给出这道题的答案。‍‍
聪明如你一定会想起，这有点儿像那道著名的“两孩难题”。
两孩难题
某人有两个孩子，其中至少有一个是男孩，那么两个孩子都是男孩（也经常被表述为“另一个孩子也是男孩”）的概率是多少？

几乎所有讲述概率的书籍，都会用这道题来戏弄初学者，并且告诉他们，答案是1/3，而不是直觉上的1/2。‍‍‍‍
请注意，我随机在一本算得上专业的书上搬来了这道题，并且保留了原文中可能产生歧义的部分。‍‍‍‍
对于引发各种争论的“两孩难题”，《牛津通识课：概率》的作者称之为“臭名昭著”，他说这类“诡计问题”(trickquestions)被设计成说服你概率这门学科是有违常识的。
有人说这道题是关于条件概率的。
也有人说，这类题完全是文字游戏。‍‍‍‍‍
二
这道看似简单的问题并没那么简单。‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍
最近看了一本《简单有趣的金融数学》，作者是美国三院院士，译者一位是教授，一位是基金经理。书中有这样一道题：‍‍‍‍
在金融世界中，一个关键点在于理解应如何利用信息为自己谋利。
有时，那些看起来甚至毫无关系的信息也可能是非常有用的。用两个孩子的例子进行说明，假设杰奎琳被邀请与朋友的家人共进晚餐。杰奎琳只知道她的朋友有两个孩子。考虑以下两种情形：
（1）当杰奎琳按门铃时，一个可爱、有礼貌的小女孩开门说：“你好，我的名字是安妮。请进。”
（2）当杰奎琳按门铃时，一个流着鼻涕的小女孩艾米开门说：“走开，我不想让任何人进来！因为我是年纪最小的，你们都要听我的。”
请你分别计算两种场景下家里的另一个孩子是男孩的可能性。
作者写道：“在计算时，这两种场景的答案发生了改变吗？出人意料的是，确实发生了改变。”
该书给出的答案是：
情形（1）时，答案是2/3；‍‍‍‍‍‍‍
情形（2）时，答案是1/2。‍
该书给出的解答过程如下：‍
杰奎琳在第一个情形中只知道两个孩子中的一个是女孩，这意味着她的朋友不可能有两个男孩。
因此，样本空间是{男女，女男，女女} ，这三个事件中的任意一个都是等可能的，因此每个事件现在都有1/3的概率。其中，另一个孩子是女孩的唯一可能是 GG，剩下的两种可能均表示另一个孩子是男孩，因此有一个孩子是男孩的概率是2/3。
第二个情形提供的信息和小女孩的态度无关，而应该注意到年纪最小的孩子是女孩。因此，可能发生的事件既不是“女男”也不是“男男”（它们表示年纪最小的孩子是男孩）。实际的样本空间是{男女，女女} ，因此，另一个年纪更大的孩子是男孩的可能性是1/2。
然而，这道题对情形（1）的解答是错的。‍‍‍‍
质疑一位院士的专业领域，通常是大概率犯错的愚蠢行为。
《简单有趣的金融数学》是本好书，即使我可能是对的。‍‍‍‍‍
三
我用视觉化的方式来解答如下。‍
朋友家里有两个孩子，所有组合如下：
{男女，女男，女女，男男} 
情形（1）中，一个叫安妮的女孩来开门，所以排除了两个都是男孩的可能性，对应下面：‍‍‍‍‍‍‍‍
对应，于是作者认为，有2/3的可能是一男一女的组合，所以有一个男孩的可能性是2/3。
这里犯了一个错误。
假如题目是“已知朋友家里至少有一个女孩”，那么可以说，从样本空间的分布来看，有1/3的可能性是“女女”家庭。‍‍‍
但是，我们收到的信息是“一个叫安妮的女孩来开门”，也就是说，亲眼看见了一个女孩，描述如下：
如上，“亲眼看见了一个女孩”，是指通过观察，看到了如上打红勾的四种可能。
这四种可能性中，有两种都来自“女女”家庭。
即使每次只能看见一个孩子，“女女”家庭令客人“观察到一个女孩”的可能性，是“一男一女”家庭“观察到一个女孩”的可能性的两倍。‍‍‍‍
所以，有50%可能性来自一男一女的组合。‍‍
（在此我省略了情形2的类似推理，正确答案也是1/2。）
请注意，这道题可能因为语言表达而产生歧义。但我不打算在该方向展开。
四
也许用一个物理世界的例子，可以令我们的讨论更直观一些。
双开关灯泡
一个电路中包含两个并联的开关（开关1和开关2），它们共同控制着一只灯泡。
假设每个开关闭合（即“接通”）的概率为50%，断开（即“不接通”）的概率也是50%。
现在观察到这只灯泡是亮的。在这个条件下，请问两个开关都处于闭合状态的概率是多少？
这个问题涉及到条件概率和贝叶斯定理，解答如下：
首先，我们知道灯泡亮意味着电路至少有一个开关是闭合的。在两个并联开关的设置中，有以下可能性：
一、开关1闭合，开关2闭合；
二、开关1闭合，开关2断开；
三、开关1断开，开关2闭合；
四、开关1断开，开关2断开。
由于灯泡亮了，我们可以排除第四种情况（两个开关都断开）。
因此，只剩下三种情况。
因为每个开关闭合或断开的概率都是相等的，所以在前三种情况中，有一种是两个开关都闭合。‍
所以，答案是1/3。‍‍‍
也就是“一开一关”的概率是2/3。‍
这道题的关键是：观察到灯泡是亮的，等价于“至少有一个开关是接通的”。
因为并联的物理原理，以及接通的结果是显性的，以及不接通的结果是隐性的，所以观察灯泡亮，是一种上帝视野的统计学结果。‍‍
但是，在上面，观察到一个孩子是女孩，是一个局部行为，并不等价于“至少有一个孩子是女孩”。‍‍‍
五
“至少有一个是女孩”，与“亲眼看见一个是女孩”，并非一回事情。
这个是关键。
这二者直接的差别，可以从空间、时间两个维度的“整体与局部关系”来揭示。

1、先看空间维度的“整体与局部关系”。
“至少有一个是女孩”，不能确保你亲眼看见的那个就是女孩。
尽管你可以由“亲眼看见一个是女孩”推理出“至少有一个是女孩”，但是，你不能由“至少有一个是女孩”推理出“亲眼看见一个是女孩”。
我用画图来形象描述一下：

如上图所示，从观察的角度看，“亲眼看见一个是女孩”被包含于“至少有一个是女孩”。
2、再看时间维度的“整体与局部关系”。
“至少有一个是女孩”，是上帝视角的统计结果；
“亲眼看见一个是女孩”，是人肉视角的观察结果。
我用时间维度来说，未必精确，但大致是一个形象化的描述，如下图：
所以，电路并联那道题，观察到灯泡亮，结果是基于上帝视野的，可以得出“一开一关”的概率是2/3；‍‍‍‍‍
而两孩问题，观察到一个是女孩，结果是基于个体观察的，得出“一男一女”的概率是1/2。
六
回到本文开头的亲吻青蛙的问题。‍‍‍‍‍‍
写到现在，我打算将这道题留给聪明的你。‍‍‍‍‍‍
出这道题的某个视频，给出的答案是：
你应该回头，去舔身后的两只青蛙，吻中雌青蛙的概率是2/3。‍‍
你认为这个计算正确吗？
甚至ChatGPT（在我纠正它之前）也给出了一样的解答：
我们听到了一只雄性青蛙的叫声。这个信息告诉我们，至少有一只雄性青蛙。这里有三种可能的性别组合：
1、雌性/雄性（FM）
2、雄性/雌性（MF）
3、雄性/雄性（MM）
在这三种情况中，只有一种情况（MM）是没有雌性青蛙的。因此，你有2/3的概率找到至少一只雌性青蛙。
在我质疑了AI之后，它又给出了新的计算：
在这种情况下，我们听到了雄性青蛙的叫声，这意味着我们排除了两只都是雌性的可能性（FF）。剩下的组合有：
1、第一只是雄性，第二只是雌性（MF）；
2、第一只是雌性，第二只是雄性（FM）；
3、第一只是雄性，第二只也是雄性（MM）。
我们听到了雄性青蛙的叫声，但我们不知道是哪一只雄性。
在MM组合中，每只雄性青蛙都有可能是发出叫声的那一只，所以这个组合实际上在概率计算中计为两倍。
因此，我们有以下四个可能的观察结果：
1、观察到的雄性来自MF组合（1种可能性）；
2、观察到的雄性来自FM组合（1种可能性）；
3、观察到的雄性来自MM组合（第一只是发声者，1种可能性）；
4、观察到的雄性来自MM组合（第二只是发声者，1种可能性）。
在这四种可能性中，两种情况没有雌性青蛙（第3和第4种），而另外两种情况中有一只雌性青蛙（第1和第2种），计算如下：
这一次，它的答案又变成了1/2.‍‍‍‍‍‍
也就是说，亲吻面前的一只青蛙，和掉头亲吻后面的两只青蛙，活下来的概率是一样的。‍‍‍‍
最后
ChatGPT给出的两个答案，你赞成那一个？
其实，还可以将这道题转换为“双开关灯泡”问题，例如设定后面的两只青蛙都在叫，但是雌青蛙的声音听不见，并且分不出一只叫还是两只叫......
也可以将该题转换为变形的“三门问题”.....
但姑且如此吧。
本文的关键是引入了“上帝视野”的统计，和“个体视野”的观察。‍‍
这是一个有趣的视角。‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍
能够令如此多专家都犯错的话题，的确很好玩儿。
概率是一片乐趣无穷的游乐场，令我等业余爱好者也能与“权威”共耍。‍‍
那么，回到本文开篇的问题，你会选择亲吻面前的一只青蛙，还是在听见有只雄青蛙叫后，转身亲吻后面的两只青蛙？
祝你好运气，吻到一只雌青蛙。
（完）
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