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精彩往期回顾:
条件概率(Conditional Probability)
这里用一个例子来告诉大家:
比如,一个上学期间整天鬼混的学沫,根本就不好好学习,对于他而言,选择题的四个选项ABCD被他选取的概率就为1/4。而对于大学霸来说,题题都会,那么他选取每一个选项的概率就为1或0。
但是有一天,这个学沫和学霸考试竟然挨着,当学沫想看学霸选择题的时候,被学霸一手遮住:
那么在这样的事情发生之后,学沫肯定就知道不是选B就是选D了,AC根本不可能。那么此时的P(B)=P(D)=1/2。上述情况发生后一个事件的概率被称为条件概率。
数学上的条件概率表示
P(X|Y)
其中
X:自己关心的事(要求的概率)
Y:观察到的,已发生的事件(已知条件)
条件概率怎么算?
若某事件Y包含数个实验结果:
Y={O1, O2,...,On}
那么P(Oi|Y)的条件概率表示为(忽略小鼠标)
如果考虑到某事件X={O1,O2,Q1,Q2},已知条件事件Y={O1,O2,O3}发生了,则:
所以最终可以包含所有情况的公式定义
若已知某事件Y发生了,则对于任何事件X,我们可以计算其条件概率为:
注:英文中表示已知条件的词大致为condition on,Suppose,if,Assuming,given that
条件概率定理
定理一
注:很明显由概率公理一得任何概率都大于等于0,所以这里P(X|Y)大于等于0(当然分母等于0咋办?所以为了数学严谨,直接定该条件概率大于等于0)
定理二
注:自己在自己发生的情况下的概率为1
定理三
注:若AB互斥,那么它们集合的条件概率等于分别各自的条件概率
定理四
全概率(Total Probability)定理
若C1,C2,...,Cn互斥,且它们的并为全集合S,则对于任意事件A有:
注:其中根据上面提到的公式
得出该式中
那么根据上章讲的切面包定理
公式证明为:
举个应用栗子:
比如还是上章讲的阿宅和可爱店员,店员对阿宅是否笑,是收到店的生意的影响的。
其中:满表示生意火爆;普表示平淡;惨表示店里冷清惨淡。
之前考虑的是这个可爱店员对阿宅笑的概率。那么这次考虑可爱店员笑的概率
那么此时的概率用集合表示为
根据上述公式得
定理五
贝叶斯(Bayes)定理
若C1,C2,...,Cn互斥且它们的并为总集合S,则对任意事件A,有
注:贝叶斯定理用的还是很多的,比如在机器学习以及自然语言处理应用中。由公式可以看出一个细节,前面的条件和关心的事件在后面的公式总反过来了,所以这个贝叶斯定理经常被用在交换条件和关心事件的公式。
证明也不难,左边的公式等于
举个栗子
还是阿宅和可爱店员的例子。这次我们站在店长的角度考虑,店长在乎的是店的生意,有一天,店长恰好看到了这个可爱店员笑了,那么此时店里是满(红红火火)的概率。
计算公式为:
所以,当店长看到店员笑的时候,店里满的概率仅仅为九分之一,看来店长看到店员笑的时候会很生气啊。哈哈
好了今天就到这里,每天进步一丢丢!用5秒钟看完下面雅思单词吧O.O
Reference
概率视频 叶丙成 台湾大学
IELTS a bit
anthropology n. 人类学,人类学家
legacy n. 遗赠,遗产
detain vt. 拘留;留住;耽搁
in obedience to 服从;遵照
make an appointment 约会;预约
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