一个无理数的无理数次方是否有可能是一个有理数？这是一个非常经典的老问题了。答案是肯定的，证明方法非常巧妙：考虑根号 2 的根号 2 次方。如果这个数是有理数，问题就已经解决了。如果这个数是无理数，那么就有：
我们同样会得到一个无理数的无理数次方是有理数的例子。
这是一个典型的非构造性证明的例子：我们证明了无理数的无理数次方有可能等于有理数，但却并没有给出一个确凿的例子。毕竟我们也不知道，真实情况究竟是上述推理中的哪一种。那么，真实情况究竟是上述推理中的哪一种呢？ Gelfond-Schneider 定理告诉我们，假设 α 和 β 都是代数数，如果 α 不等于 0 和 1 ，并且 β 不是有理数，那么 α 的 β 次方一定是超越数。根据这一定理我们可以立即看出，根号 2 的根号 2 次方真的是一个无理数，实际情况应该是上述推理中的后者。
那么，是否存在一个无理数 a ，使得 a 的 a 次方是有理数呢？最近， Stan Dolan 证明了这样一个结论：事实上，几乎所有 (1, ∞) 里的有理数都是某个无理数 a 的 a 次方。
注意到当 x 大于 1 时，函数 f(x) = x^x 是连续单调递增的，因而对于所有 (1, ∞) 里的有理数 r ，一定存在唯一的 a ，使得 a^a = r 。不妨假设 a 是一个有理数，它的最简分数形式是 n / m 。如果 m = 1 ，那么我们会有平凡解 n^n = r 。下面我们证明， m 是不可能大于 1 的，否则会产生矛盾。
假设有理数 r 的最简分数形式是 c / b ，于是我们有：
或者说：
来源：http://www.matrix67.com/blog/archives/4984
-----这里是数学思维的聚集地------
“超级数学建模”（微信号supermodeling），每天学一点小知识，轻松了解各种思维，做个好玩的理性派。50万数学精英都在关注！
继续阅读
阅读原文