高中阶段，大家都学习了数列，最常用的两个数列就是等差数列和等比数列。
但是还有一个数列，不常用。教材中也很少提到，但是几乎在所有辅助教学的资料中都有这个数列。老师在课堂上也讲解，这个数列同样也出现在某些省市的高考试卷中，也许可能在某些省市的教材中有。
当时在课堂上，老师把这个数列读作"等比差数列"，这个名字有些人可能不知道，但是好多同学对错位相减记忆犹新(计算量大又繁琐，计算结果又极易出错！)，没错，错位相减法就是计算等比差数列的前n项和方法。
"等比差数列"——我们今天重新来认识它，我也相信总有一天，今天做的这项工作会引入到我们的教学中，不仅基础教学，还有大学教学。
第一步：
特殊数列：a(n)＝n
①∑a(n)＝1＋2＋3＋……＋(n－1)＋n
将上式右边倒序放置
②∑a(n)＝n＋(n－1)＋……＋3＋2＋1
①＋②并整理得∑a(n)＝½(n＋1)×n
按照上述的思路可得普遍规律
a(n)＝a(1)＋(n－1)×d 
①∑a(n)＝a(1)＋a(2)＋……＋ a(n)
②∑a(n)＝a(n)＋a(n－1)＋……a(1)
注意：这里用到了a(1)＋ a(n)＝a(2)＋ a(n－1)＝a(3)＋a(n－2)……
①＋②并整理得
求和公式：∑a(n)＝½〔a(1)＋a(n)〕xn 
显然，上述就是等差数列求和公式的推导，用了倒序相加的方法，所有的学生都知道，只要遇到等差数列求和，直接套用公式，不会再进行倒序相加的过程运算。
第二步：
特殊数列：b(n)＝2^n
①∑b(n)＝2＋4＋8＋……＋2^n
将上式两边边乘以2原序放置
②2×∑b(n)＝4＋8＋16………＋2^(n＋1)
②－①并整理得∑b(n)＝2^(n＋1)－2
按照上述的思路可得普遍规律
b(n)＝b(1)×q^(n－1)
①∑b(n)＝b(1)＋b(2)＋……＋ b(n)
②q∑b(n)＝qb(1)＋qb(2)＋……＋qb(n)
①－②并整理得
求和公式：∑b(n)＝b(1)×〔1－q^(n)〕÷(1－q) 
自然地，上述就是等比数列求和公式的推导，用了错位相减的方法，但是这个法不是体现的很明显，大家很清楚，凡是等差数列求和，直接套用公式，不会再进行错位相减的过程运算。
第三步：
以下的讨论和推导会比较麻烦，但是很有必要，而且错位相减显得很重要，要想永久的理解记住结果并且熟练应用，严格的推导过程是必须的！！
特殊数列：A(n)＝n×2^n
①∑A(n)＝1×2＋2×4＋3×8＋……＋n×2^n
将上式两边边乘以2原序放置
②2×∑A(n)＝1×4＋2×8＋3×16………＋n×2^(n＋1)
②－①并整理得
∑A(n)＝n×2^(n＋1)－2^(n＋1)＋2
按照上述的思路可得普遍规律
A(n)＝〔a(1)＋(n－1)×d〕×〔b(1)×q^(n－1)〕 
显然，引入了新的记号A(n)表示等比差数列，从右边的式子可以清晰的看出等比差数列就是等差数列与等比数列的乘积。
①:∑A(n)＝A(1)＋A(2)＋A(3)＋…＋A(n－1)＋A(n) 
上式左右两边同时乘以q
 ②:q∑A(n)＝qA(1)＋qA(2)＋qA(3)＋…＋qA(n－1)＋qA(n) 
原序放置，不改变任何项。
①－②:(1－q)∑A(n)＝A(1)＋｛〔A(2)－qA(1)〕＋〔A(3)－qA(2)〕＋〔A(4)－qA(3)〕＋…＋〔A(n)－qA(n－1)〕｝－qA(n) 
从上式的运算和各项放置的位置中可以看出，右边首项为①式的第一项，尾项为②式的最后一项，中间的差项列就是①－②的顺序放置的。下面要做的工作就是取出①－②中的差项列进行单独运算。
其中：
〔A(2)－qA(1)〕＝d×b(1)×q^1
〔A(3)－qA(2)〕＝d×b(1)×q^2
〔A(4)－qA(3)〕＝d×b(1)×q^3
……
〔A(n)－qA(n－1)〕＝d×b(1)×q^(n－1) 
所以 ①－②中差项列的和：
③｛〔A(2)－qA(1)〕＋〔A(3)－qA(2)〕＋〔A(4)－qA(3)〕＋…＋〔A(n)－qA(n－1)〕｝＝d×b(1)×q^1＋d×b(1)×q^2＋d×b(1)×q^3
＋…＋d×b(1)×q^(n－1)
上式右边首加d×b(1)然后尾减掉d×b(1)，同时提出d得 
④:｛〔A(2)－qA(1)〕＋〔A(3)－qA(2)〕＋〔A(4)－qA(3)〕＋…＋〔A(n)－qA(n－1)〕｝＝d×〔b(1)＋b(1)×q^1＋b(1)×q^2＋b(1)×q^3
＋…＋b(1)×q^(n－1)－b(1)〕 
对④进行化简，很明显，④式右边可以简写为：
d×∑b(n)－d×b(1) 
即④右＝d×∑b(n)－d×b(1) 
这个记号一下子使④式变得很简洁！
将化简后的④式代入到①－②中得 
(1－q)∑A(n)＝A(1)＋〔d×∑b(n)－d×b(1)〕－qA(n)
再整理上式得 
∑A(n)＝〔(1－q)〕^（－1)〔d×∑b(n)－qA(n)＋A(1)－d×b(1)〕 
综上所述，等比差数列的求和公式：
∑A(n)＝〔(1－q)〕^（－1)〔d×∑b(n)－qA(n)＋A(1)－d×b(1)〕 
补充：
等比差数列的求和公式中的每一项表示的意义，在推导过程中你就会体会到，而且如果用手写等比差数列的求和公式时有些括号就不写了，如:A(1)，写个A下标1就可以了，这样一来，整个公式就变简洁了！换句话说，用标准的数学符号写出的这个公式很简洁优美。
现在我们来完善高中三大常用数列：
一:等差数列 
通项公式:a(n)＝a(1)＋(n－1)×d 
求和公式:∑a(n)＝½〔a(1)＋a(n)〕xn 
二:等比数列 
通项公式:b(n)＝b(1)×q^(n－1) 
求和公式:∑b(n)＝b(1)×〔1－q^(n)〕÷(1－q) 
三:等比差数列
通项公式:A(n)＝〔a(1)＋(n－1)×d〕×〔b(1)×q^(n－1)〕 
求和公式:∑A(n)＝〔(1－q)〕^(－1)〔d×∑b(n)－qA(n)＋A(1)－d×b(1)〕 
最后，我们来讨论上述公式的用途 
1、在高中，一般都是做题和考试中出现等比差数列的求和，基本上都是这一种类型， 因此就直接用等比差数列的求和公式，方便！快捷！准确！要是这个公式一旦引入教学，那么涉及到等比差数列的题型就多了，不再是单纯的求和那么简单。
2、当q取不同范围的数时，可以讨论等比差数列求和公式∑A(n)的极限，也就是讨论等比差数列的敛散性，q不等于0，且q的绝对值小于1时
lim∑A(n)＝〔(1－q)〕^(－1)〔d×b(1)×(1－q)〕^(－1)＋A(1)－d×b(1)〕（具体操作的时候还可以化简） ，其中n趋于无穷大。当q取其他值，且n趋于无穷大时，lim∑A(n)发散。
 3、等比差数列求和公式∑A(n)中有五个变量:∑A(n)，a(1)，d，b(1)，q 其中知道四个就可以求得第五个，当然啦，理论上是可以的，但实际上只能操作小数字！
4、与等比差数列有关的计算很频繁的出现在大学数学中，如级数求和，你可以直接用公式求解等比差数列收敛于何值。同时也可以用导数积分的方法，对公式∑X^n＝(1－X)^(－1)（X的绝对值小于1）左右两边进行求导，带入相应的X值也可以得到等比差数列收敛于何值！
 5、在统计学中，有关方差和期望的运算中，该公式也可以应用，使得运算大大简化。
6、理论上∑∑∑…∑a(n)，∑∑∑…∑b(n)，∑∑∑…∑A(n)的结果可以用公式表示。
 …… 其他的用途有待读者思考。 
作者：马文俊（西北师范大学数学与应用数学学院）
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