显然本期节目想要介绍的就是《哥德尔、埃舍尔、巴赫》这部有趣的书这也是给《混乱博物馆》许多往期内容所做的一次诠释。
正如标题所说这本书交织地介绍了数理逻辑学家哥德尔、版画家埃舍尔和巴洛克作曲家巴赫探索了三个伟人在不同领域中作品的共同理念。就像本书作者侯世达所说:“我认识到哥德尔、埃舍尔和巴赫只是用不同的方式来表达一样相同的本质。
已经读过这本书的人无疑非常幸运他们会在本期内容里重见旧相识而没有读过这本书的人大概会觉得不知所谓”——那么我建议你花时间阅读这本荣获了普利策奖的名著你一定会在一个新的世界里有所收获。
-文字稿-
近半年来,我们曾介绍过埃舍尔的作品、巴赫的音乐和数学上的算术公理,并在这些内容里留下了许多伏笔,至今仍未解开——有聪明的观众已经猜到,这些往期内容与1979年的名著《哥德尔、埃舍尔、巴赫——永恒的金带》关系密切,而那揭开一切的缺失拼图,就是哥德尔不完备定理的精妙证明。
这本书的作者是道格拉斯·霍夫斯塔德(Douglas Richard Hofstadter,1945-),书中以平实而生动的语言讲述了哥德尔、埃舍尔、巴赫在各自领域的杰出贡献,用精巧的构思将数理逻辑中的自指,绘画中的双关,音乐中的赋格,交错关联起来。用作者的话说,他认识到这三个人在用各自的方式探讨同一种本质,而这本书就是重现这种本质——正如中文译名的副标题那样,“集异璧之大成”,作品涉及了计算机科学、人工智能、语言学、遗传学等诸多领域,但最核心的内容,仍然是探讨哥德尔不完备定理的证明。
哥德尔不完备定理的提出源于一个野心勃勃的“希尔伯特计划”,由德国数学家大卫·希尔伯特在1920年提出,试图一揽子解决数学当时遇到的所有问题。简单地说,许多古老的数学难题,比如平行公理,到19世纪已经得到新的诠释,开拓了新的领域。
在此过程中,人们不得不承认,数学的公理是否“不证自明”并不重要,重要的是构建明确的规则步步推导。所以大卫·希尔伯特的计划,就是将一切数学命题都形式化成符号的运算,进而将这种运算机械化,那么世界上就再也没有艰难复杂的数学证明,而只需将数学命题写成符号,再转动机器得出“可证”或“不可证”的结论就行了。但前提是,我们要证明这样一个系统不会自相矛盾,一会儿说一个命题可证,一会儿又说它不可证。
然而到了1931年,年仅25岁的哥德尔用一篇论文就证明了希尔伯特想要构造的体系并不相容,把希尔伯特的通天蓝图击得粉碎。这份证明的精髓思想,就是构造了一个逻辑上的自我指涉。在这里,我们先用一个著名的“对角论证法”帮你小窥其中的趣味。
试问,从0到1的所有小数和全体自然数相比,哪个更多?我们不妨先假设一样多,这就意味着我们能用自然数给这些小数逐次编号:
r1 = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ...
r2 = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ...
r3 = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ...
r4 = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ...
r5 = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ...
r6 = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ...
r7 = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ...
那么,取第一个小数的第一位小数,第二个小数的第二位小数,第n个小数的第n位小数……这条对角线上的所有数字,构成一个新的小数。
r n = 0 . 5 1 4 0 2 3 5...
再给这个小数加上0.1 1 1 1 1...
得到最后的小数:
r = 0 . 6 2 5 1 3 4 6...
那么显然的,这个最后的小数第一位和第一个小数的第一位不一样,第二位和第二个小数的第二位不一样,第n位和第n个小数的第n位不一样——也就是它和任意有编号的小数都不一样,意味着我们找到了一个超出自然数编号能力的小数,所以可以得出,0到1之间的小数比全体自然数还多。
我们将在未来看到哥德尔如何巧妙地给全体数学命题编了号,找到了其中的矛盾。而这个矛盾也绝不仅仅是数理逻辑的局部矛盾,而是深埋于整个计算机时代的深刻矛盾——我们将在了解这份证明之后,探讨它与人工智能的深刻关系。
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