小小悖论
却是大智慧
上次讲到芝诺悖论作为一个间接因素引发了历史上“第一次数学危机”（传送门），对于芝诺悖论只是简单地介绍了一下，然后就看到有模友想要超模君详细讲讲这个内容了。
既然你诚心诚意地发问了，那超模君就小发慈悲地告诉你吧。
芝诺悖论其实指的是古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。（据说一共有40多个完全不同的悖论，然而现存的仅有8个。）
其中，最为著名的是以下4个悖论：
1、二分法悖论
一个人在到达目的地之前，要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2……按照这个要求可以无限循环的进行下去。。。
因此有两种情况：①这个人根本没有出发；②只要他出发了，就永远到不了终点。（尽管离终点越来越近）
2、阿基里斯悖论
其实，这个悖论就是指这个有趣的故事——阿基里斯与乌龟赛跑。
阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟10倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。
因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了。
阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。。。
就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！
3、飞矢不动
“飞矢不动”中的“矢”指的是弓箭中的箭。正常的射箭，任何人都知道，只要箭离了弦，就能飞出去，经过一段空间运动后，到达另一个位置。
然而，芝诺认为：如果我们截取“飞矢”的每一个瞬间，它在空中都是“静止”的。既然每一个瞬间都是静止的，所有的瞬间加起来也应该是静止的，因此，“飞矢”是“不动”的。
4、游行队伍悖论
假设在运动场上，在一瞬间（一个最小时间单位）里，相对于观众席A，队列B、C分别各向右和左移动一个距离单位。
而此时，相对于B，C移动了两个距离单位。
芝诺认为，既然队列可以在一瞬间（一个最小时间单位）里移动一个距离单位，也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位，那么，半个时间单位就等于一个时间单位。
因此队列是移动不了的。
小天：那么按照他的说法，世界都是静止的咯。。。
而且就算你运动了也等于没动。。。
超模君：其实，芝诺悖论只是想说明一个问题：世界在空间上和时间上是有限可分还是无限不可分的。
原来，芝诺提出的这些悖论曾困扰人们2000多年，尽管大家都知道是错误的，但由于其推理过程不仅严谨，而且还合乎逻辑（至少在当时是如此），以至于长期以来，竟没人能清楚地说出它到底错在哪里。。。
亚里士多德对芝诺悖论作出了这样的解释：
对于第一、三个悖论，他认为只要假设时间是也是无限不可分的，那么每一个时间点对应一个空间点，就能在无限不可分的一段时间里跨过一段无限不可分的空间。
对于第二个悖论，他认为：当追赶者与被追者之间的距离越来越小时，追赶所需的时间也越来越小。无限个越来越小的数加起来的和是有限的，所以可以在有限的时间追上。（然而并不严谨）
而对于阿基里斯悖论，阿基米德发现了一种类似于几何级数求和的方法，而问题中所需的时间是成倍递减的，这正是一个典型的几何级数，由此可知阿基里斯追上乌龟的总时间是一个有限值。
至此，这个悖论才总算是得到了一个还过得去的解释。
随着现代数学的发展，数学家们发现了一些“手段”来解决芝诺悖论，其中最著名的就属牛顿、莱布尼茨创立的微积分了。
所谓“微分”就是把某事物无限量地细分，“积分”就是将细分后的各个小部分加起来。
在微积分中有个很重要的变量叫做“无穷小量”，用“dx”来表示。其概念是：无限趋于零，但不等于零。
芝诺悖论之所以是错误的，是因为芝诺将无穷小量等同于零（完全忽略不计）。
按照这个想法的话，无穷小量继续增加、累积，其结果都只能是零，因此“飞矢不动”。
然而，无穷小真正是指无限趋于零（并不等于零），这样，无穷个“趋近于零”的无穷小量相加、累积之后，就会有一个确切的值。
通过微积分，我们可以根据给定的距离求出阿基里斯追上乌龟的时间。但这是在知道阿基里斯已经追上乌龟的假定下进行的计算。
那么，阿基里斯是如何追上乌龟的呢？
很遗憾，这个在数学中无法得到一个合理的解释。
那么，现在我们转战到物理学，人们认为量子力学已经解决了芝诺悖论。
在量子世界里，认为时间、空间和能量都是不连续的。
也就是说，时间、空间都有一个最小的单位，称之为普朗克长度。
时间、空间都是有限可分的，这样阿基里斯就能追上乌龟，我们也能到达目的地了。（小天：好像还是不懂）
但是，这样的话，岂不是我们所做的每一件事都是像放电影那样？只是时间的间隔少了几个数量级？（细思极恐）
1秒的快门，400mm镜头，拍摄伦敦绅士。
芝诺悖论从最开始数学讨论，慢慢演变成为哲学问题（数学与哲学真的分不开吗），也让大量的哲学家陷入沉思。
法国哲学家柏格森说过：芝诺悖论的全部要害在于用运动轨迹代替运动本身。
许多现代分析哲学家进一步指出，芝诺用数学化的运动轨迹代替物理的运动轨迹，就将真实的物理运动导入关于无限的数学迷途之中。。。
阿尔弗雷德·诺斯·怀特海德这样形容芝诺：知道芝诺的人没有一个不想去否定他的，所有人都认为这么做是值得的。
英国数学家、哲学家伯特兰·罗素曾如此评价：（芝诺悖论）为从他（芝诺）那时起到现在所创立的几乎所有关于时间、空间以及无限的理论提供了土壤。
伯特兰·罗素
正如数学史家F·卡约里所说：芝诺悖论的历史，大体上也就是连续性、无限大和无限小这些概念的历史。
柏拉图曾取笑芝诺只会耍耍小聪明，然而，现在看来，小小悖论，却是大智慧啊。
本文由超级数学建模编辑整理
部分资料来源于网络
转载请在公众号中，回复“转载”
-----这里是数学思维的聚集地------
“超级数学建模”（微信号supermodeling），每天学一点小知识，轻松了解各种思维，做个好玩的理性派。30万数学精英都在关注！
商务合作请加微信zwz2434
继续阅读
阅读原文