Ebay 面试题 | 把数组分成和大小一样的集合

题目描述

给定一个只包含正整数的非空数组，判断该数组能否分成两个和相等的子数组。

样例输入

输入[1,5,11,5] 返回 true . 可以分为[1,5,5]和[11]

输入[1,2,3,5] 返回false. 无法分为相等的两个子数组

算法分析

本题需要判断数组能否分为两个和想等的子数组，等价于在数组中选取一定数目的元素，能否使得选择的元素之和为sum/2(sum为数组中所有元素的和)。而等价的问题就是经典的0-1背包问题，即给定一个正整数数组，能否从数组中选取一定数量的元素，使得这些元素的和恰好为sum/2。

为了解决这个问题，直观的想法是我们可以枚举原数组的所有子集，计算每个子集的元素之和能否等于sum/2,但是含有n个元素的数组的子集数目为2^n个，这样算法的复杂度是指数级别的，在n比较大的时候并不可行。

我们假设数组中存在子集num1,num2,...,numk满足和为sum/2,那么，从该子集中去掉最后一个元素numk,其和一定为sum/2-numk。也就是说子问题：是否存在一个子集，其和为sum/2-numk,该问题一定是有解的（可以用反证法证明）。

这样，我们可以确定，原问题有解当且仅当子问题有解。这样，我们就把一个规模比较大的问题归结成了规模比较小的子问题。这就是动态规划的思想。那么，我们如何确定子问题是否有解呢？可以这样考虑，假设dp[i][j]表示数组中前i个元素能否得到和为j的子数组，dp[i][j] = 1表示前i个元素能够得到和为j的子数组，dp[i][j] = 0 表示不能得到。那么对于第i个元素来说，有两种情况，一种是第i个元素在和为j的子数组中，那么对于前i-1个元素来讲，应该得到和为j-nums[i]的子数组；另一种情况是第i个元素不在和为j的子数组中，那么对于前i-1个元素来讲，应该得到和为j的子数组。上述两种情况成立其一就可以保证能够得到合法解。因此我们有以下关系：

dp[i][j] = dp[i-1][j] | dp[i-1]][j-nums[i]]

上述解法的时间复杂度和空间复杂度均为O（n*sum）的，由于问题中，n*sum = 200 * 100 * 200 = 4*10^6,我们x需要优化空间复杂度。进一步思考我们发现，第i次迭代的过程只与第i-1次迭代过程有关系，而与前i-2次迭代过程无关。因此我我们首先可以考虑使用2×sum的滚动数组来解决此题。此时可以把空间复杂度压缩到O(sum)。

另一种解法是一维动态规划

，我们假设dp[j]表示第i轮迭代能否得到和为j的子数组，那么只要保证此时数组中存储的是上一轮（i-1轮）迭代的结果，我们就可以去掉一个维度。因此我们有如下关系：