AP考试马上就要来了!洪水猛兽将在五月初和大伙儿亲密接触。小编特地联系到周叔,给大家带来关于AP 微积分满满的干货!祝大伙儿能考出好成绩。5分属于你们 !
嗨,少年(女),AP考试将至,准备得怎么样了?付出时间和心思了吗?周叔来帮你梳理一遍吧。概括来讲,学习完AP微积分BC,在你“婶婶”的脑海里应该有的知识框架是: 函数的极限是什么概念,基本的计算方法和逻辑是怎样的;
什么叫函数的连续,闭区间连续的函数有什么性质; 导数是什么,有哪些常见的计算方法,有哪些基本应用; 积分里的定积分和不定积分各自是什么,怎么计算,有什么应用;
无穷级数是什么鬼,什么叫做无穷级数的收敛/发散,常见的无穷级数有哪些,常见判断无穷级数是否收敛的方法有哪些;幂级数是什么鬼,什么是它的收敛域(半径);泰勒级数/泰勒多项式是啥,用泰勒多项式进行估算时,误差边界怎么算。

具体要求内容如下:

1. 极限(Limits)
1) 极限定义的理解
极限的逻辑,左右极限的概念以及此基础上的极限存在原则;还需要会从图像上判断极限。

2) 基本计算
-一些基本函数的极限结论要熟悉,如 y=e^x在x 分别趋向于正无穷或者负无穷时的极限,y=sinx在 x 趋向无穷时的极限,等等; 基本的加减乘除原则;sinx在x趋向于∞时 有理函数类型(自变量趋向于无穷时,直接看最高项次方的关系

-两个极限小公式(一个是sinx/x,一个是结果记为e的那个);

-洛比达法则(L’ Hopital’s Rule)——AB不考——BC考极限喜欢考它。

3) 求函数渐近线
水平的和竖直的各自用极限是怎么定义计算的,基础还是极限计算。不要死背公式,回到逻辑上去看。

2. 连续(Continuity)
1) 连续的定义

包括在一点的连续和在一个区间的连续的定义,以及如何判断在一点是否连续(包括代数计算和根据图像的判断)。

2) 闭区间连续函数的性质定理
最值定理(Extreme Value Theorem)

介值定理(Intermediate Value Theorem)

零点定理(Zero Point Theorem)

记住这三个定理的内容,理解其逻辑,并会联系Mean Value Theorem。

3. 导数(Derivative)
1) 在一点的导数的理解
导数的定义式子要记得(Δy/Δx求极限的形式);

会用 Δy/Δx(difference quotient)估算区间中间某点的导数,并知道什么是average rate of change;

知道在一点的导数的意义(物理意义和几何意义);

图像上看常见的不可导的点(尤其是辣个“尖点”); 在一点可导同在一点连续的关系。

2) 导函数
对导函数定义的理解以及对应的定义式要认识; 基本初等函数的导数结果应该非常非常熟悉; 知晓微分(differential)的概念,区别于导数; 基本计算方法:

-乘除原则(product rule and quotient rule);
-链式法则(chain rule)
——绝对会考你,不仅要会算有具体函数式子的,还要会针对抽象函数使用链式法则;

-反函数(inverse function)
的导数——一个倒数关系,一个自变量与函数值的相反关系;

-隐函数(implicit function)
的导数计算——本质上还是一个链式法则的使用;

-对数求导数技巧(logarithmic differentiation)
——两边取对数让计算的不方便变得方便,比如计算 y=(sinx)^x的导数;

-参数函数求导(parametric functions)
——AB不考——公式要记好,不要搞反了,写成了 .. 对参变量求导再除以 .. 对参变量求导;

-极坐标函数(polar functions)
——AB不考——连续考了两年极坐标的大题了。应该把握好极坐标的定义,与直角坐标之间的关系,极坐标曲线在某点的切线斜率(这个比较可能出现在选择题里),还包括积分部分的求极坐标曲线围成区域的面积;

-向量函数求导(vector functions)
——AB不考——在AP里主要是应用到曲线运动的问题中。

-高阶导数(higher order derivatives)——记录方式起码要熟悉,涉及到隐函数的高阶导数时,不要出错。

3) 导数的应用
-求切线(tangent line)或法线(normal line)——建立在求导计算的基础上,还要能熟练写出直线的点斜式形式的方程;

-切线估算(linear approximation)——知道线性估算的逻辑,知道如何判断估大还是估小;

-变化速度以及相关变化速度(rates of change and related rates)——单独的变化速度问题,考的就是求导(很多时候是链式法则);相关变化速度问题的套路一般是建立模型等式,然后两边同时对时间求导;

-微分中值定理(Mean Value Theorem)——准确记好条件及结论,以及能理解结论的意思;

-f(x),f(x)′ f(x)′′ 互相之间——熟练彼此之间的关系,关于增减,关于凹凸,关于拐点(inflection points);
Maxima and minima:
-Relative (local)——求解的套路要熟练,包括知道critical points的概念,面对函数式子怎么求解,面对隐函数类型的导数结果怎么判断,面对导数图像怎么判断——根本的东西还是判断方法的逻辑和结论;

-Absolute (global)——闭区间时不要忘记比较端点。此外,还需要清楚,面对的是函数的导数时,怎么去求函数在一个闭区间里的absolut maxima/minima;

Motion:
-直线运动——position,velocity,speed,acceleration的概念,velocity和speed各自怎么判断增减,以及联系积分求distance和displacement;

-曲线运动——AB不考——position,velocity,speed,acceleration的概念、联系,运动轨迹在某点的切线,一段时间内走过的distance;


4. 积分(Integral)
1) Indefinite integral
清楚antiderivative的概念以及主要求解方法: 基本的不定积分结果要熟悉,其实还是对导数结论的熟练;

-换元积分法(Substitution of variables)——熟悉微分的表达方式,敏感要替换的变量的选择,熟练基本逻辑、套路;
-分部积分法(by parts)——AB不考——熟悉分部法的套路、公式,以及各自角色的选择;
-简单分式函数的积分(simple partial fractions)——AB不考——套路非常刻板,不要偷懒,踏实地计算准确。分裂开后各自的积分结果写对

-微分方程(differential equations)——只考查变量可分离的(separable)
-微分方程,一定要熟悉套路,且清楚对数(log)与指数(exponents)的转换;
-指数增长(exponential growth)——认识其样子,记住结果;

-逻辑斯蒂微分方程(logistic differential equations)——AB不考——认识其微分方程,懂得其逻辑,记住对应结论;

-斜率场(slop fields)——知道是个什么鬼,并会判断微分方程和对应斜率场;

-欧拉方法(Euler’s method)——AB不考——套路要记好,注意从右向左估算时,步长(step size)为负的。

2) definite integral

定义——知道定义,并能将对应样子的式子写成积分式;

图像——会根据函数图像计算定积分,并注意上下限的大小;

估算——运用黎曼和(Riemann sum)以及梯形和(trapezoidal sum)估算定积分;

计算性质——计算定积分时能熟练运用其计算性质;

微积分基础定理
第一基础定理
——不仅要记住结论,一见到变限积分函数形式就想到它的导数,还要会联系链式法则;

第二基础定理
(牛顿-莱布尼茨公式)——使用前提,结论,换元法和分部法(AB不需要)在定积分中怎么直接使用,以及结合几何意义的计算;

反常积分(improper integral)
——AB不考——认识什么是反常积分,计算规则的正确使用,反常积分收敛(convergent)、发散(divergent)的定义;

3) 定积分应用
-通过变化速度求变化量——想想最基本的例子和逻辑,一定会考你的;

-求平均值(average value)——记住计算式子,不要混乱于平均变化速度(average rate of change);

-由导数求函数值——分别面对导数的式子以及导数的图像两种情况,有时是具体背景中,有时是单纯的计算;

-面积——直角坐标和极坐标两种形式都要熟练(AB只要求直角坐标),并清楚各自公式的逻辑;

-体积——旋转体体积以及横截面垂直于坐标轴类型的都要会;

-曲线长度——AB不考——公式不要记错,清楚 ..=..(..)和参数方程两种形式。


5. 无穷级数(Infinite Series)——BC
1) 级数的收敛
-数列和级数(Sequence and Series)——知道各自是个什么形式,且知道数列收敛的概念;

-级数收敛和发散(convergent or divergent)的概念——知道部分和(partial sum)的概念以及级数收敛的定义,知道级数收敛的必要条件(级数收敛,term一定趋近于0)及其逆否命题形式(term不趋近于0,级数一定发散);

常见级数——熟悉四种常见级数及各自收敛或发散的结论,其中交错级数(alternating series)收敛的判断方法,以及它的收敛结论和误差边界(error bound)要熟悉逻辑和结论;

-常见判断方法——三种判断方法的使用前提、逻辑、结论都要熟悉;

-绝对收敛的概念——不直接考试,但是要掌握;


2) 幂级数(power series)
知道什么叫以 ..为中心的幂级数(a power series about ..=..),并能熟练使用ratio test求解其收敛域(interval of convergence)和收敛半径(radius of convergence)。

3) 泰勒级数(Taylor Series)
-以a为中心的泰勒级数的公式要记好;
麦克劳林(Maclaurin series)——清楚它是什么鬼

函数的麦克劳林级数展开结果;
-写函数的泰勒级数——直接套公式写抽象函数的,以及通过已知函数的泰勒级数间接(替换,求导,求反导等)写出某个函数的泰勒级数,一定会考;

泰勒多项式(Taylor polynomial)——知道n阶泰勒多项式(nth-degree Taylor polynomial)的概念,以及运用它估算函数在某点的值;

误差边界——熟悉拉格朗日余项(Lagrange remainder)的结果,知道拉格朗日误差边界的概念,并能熟练地进行实际计算,同时对比交错级数的误差边界。

That’s all.


踏实做好,让自己学会或者保持认真做好事情的习惯,少年(女)。
作者:北京新东方出国留学部周麟,传说中的资深擦玻璃能手~
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编辑:北美留学生日报一勺


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